物理的な世界を超えて：異空間における数学を研究する

ジョウ准教授は2020年11月にOISTに着任し、距離空間上の解析ユニットを率いています。中国出身で、米国で数年間研究員を務めた後、沖縄に移住しました。

現実を超えた空間の探求

何十年にもわたって、人々は一般的に、電気、先端技術、磁気などの現象の応用を最初に発見し、数学的な基礎が構築されたのはずっと後になってからでした。しかし、現象の背後にある理論を明確に理解することができれば、その理論を改良して既存の応用を効率化し、新たな応用を開発することができるとジョウ准教授は強調します。

「だからこそ、多くの人が完全に理解していると信じているこれらの現象を、数学者が探求し続けることがとても重要なのです」とジョウ准教授は言います。

物理的な世界を研究することの利点は研究しているものを感じれたり観察できたりすることかもしれませんが、距離空間においては、数学的なツールを使うことで、直接観察できない多くの性質や関数を理解することができるようになります。「これらのツールを使えば、その空間に実際に体験しなくても現象を探ることができます。これが数学の本当に楽しくて面白いところです。」

ジョウ准教授が研究している空間の一つに、サブリーマン多様体と呼ばれるものがあります。大まかに言うと、運動が特定の方向でしか行われず、その方向が場所によって変化する空間です。その例として、固定経路に沿ってしか移動できないロボットアームなどがあります。

研究者たちは、解析ツールと幾何学的ツールの両方を使って、このような空間を調べています。この空間は、古典的な（またはユークリッド的な）構造と非常に似ていますが、特性と距離が非常に異なっています。

「何かが特定の方向にしか動けない場合、この制限を最適化するために取ることができる経路を調べます。等周問題のようなよく知られた問題も、ユークリッド空間では上手く解明され理解されていますが、サブリーマン多様体の条件では非常に異なる複雑な問題になる可能性があります。この研究は、それ自体の数学的重要性に加えて、純粋数学の様々な分野の研究にも動機づけられています。さらに、このサブリーマン多様体の研究は、ロボットシステムの経路計画や目の形状測定など、工学や生物学の分野で多く応用されています」とジョウ准教授は説明します。

一定の体積を囲む表面積が最小となる形は何か？これは理論数学のこの分野で広く研究されている等周問題である。古典的な空間（ユークリッド空間）では、この問いの答えとなる形は測地線球（左図）である。しかし、これを典型的なサブリーマン多様体であるハイゼンベルク群に移動させると、性質も距離も全く異なるため、測地線球は最適解ではなくなる（右図）。ハイゼンベルク群では、等周問題の解は見つかっていない。