等周問題

一定の体積を囲む表面積が最小となる形は何か？これは、理論数学のこの分野で広く研究されている等周問題である。古典的な空間（ユークリッド空間）では、この問いの答えとなる形は測地線球（左図）である。しかし、これを典型的なサブリーマン多様体であるハイゼンベルク群に移動させると、性質も距離も全く異なるため、測地線球は最適解ではなくなる（右図）。ハイゼンベルク群では、等周問題の解は見つかっていない。